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MensagemEnviado: 24 mar 2020, 20:20 
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Olá, amigos(as)! Tudo bem?

Tenho hoje uma dúvida muito simples, mas que me causou bastante trabalho. Podem me ajudar, por favor?

Trata-se da proposição citada no título. Vou repeti-la, para poder detalhar melhor minha dúvida:

Se \(x\) é um número real, então \(x² ≥ -x\)

(Para maiores informações, essa proposição se encontra nos exercícios do Capítulo 1 - Elementos da Linguagem e da Lógica Matemática, da obra "Cálculo a uma variável - Uma introdução ao cálculo", de Iaci Malta, Sinesio Pesco e Hélio Lopes.)

Minha dúvida recai mais sobre o modo de raciocinar(demonstrar o valor lógico) frente a essa proposição do que na resposta em si(embora ela também seja uma informação importante).

Abaixo vou colocar os passos lógicos que dei, e espero que vocês me auxiliem a validar essa sequência, pois é em relação a ela que me sinto inseguro.

Se \(x² ≥ -x\), então a proposição é verdadeira para quaisquer valores fora do intervalo \(-1 < x < 0\), uma vez que

Se \(x = -\frac{1}{2} \Longrightarrow (-\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} \Longrightarrow \frac{1}{4} \le (\frac{1}{2})\)

Ou seja, \(-\frac{1}{2}\) é um contraexemplo para a proposição. Estou correto até aqui?

Bem, abaixo eu vou dar um exemplo para a proposição, pois ela vai abrir as questões que me incomodam:

Se \(x = 5\), então \(5^2 \ge - (-5)\), de modo que \(25 \ge 5\). Isso está correto?

Pois bem, se a proposição acima está correta, é possível escrevê-la da seguinte forma?

Se \(x² ≥ -x\), então \(x ≥ -\sqrt{x}\) ?

Partindo daí, utilizando o mesmo valor (5) como exemplo, é válido afirmar que

\(5 \ge - \sqrt{5}\) ?

E se eu utilizasse o seu oposto, haveria solução dentro do conjunto \({R}\) ?

Questiono isso pois imagino que, se \(x = -5\), então

\((-5 )\ge - \sqrt{-5}\)

Isso faz algum sentido?

Essa questão me deixou muito confuso. Será que estou esquecendo ou confundindo alguma propriedade? Onde está a falha no meu raciocínio? Podem me auxilar, por favor?

Perdão pelo post imenso.

Até breve!

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Rafa JP

"Não é feio ser ignorante. Feio é ser ignorante, saber-se ignorante e permanecer ignorante."
Jeff. C. S


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MensagemEnviado: 28 mar 2020, 20:55 
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Creio que resolver esta questão é mais simples. Mas isto não invalida a análise que você fez.

A resposta para a avaliação lógica da sentença "Se x é um número real, então x² ≥ -x" é que seu valor lógico é Falso.
E para tanto, basta você apresentar um contraexemplo, isto é, apresentar um número real para o qual ela não vale. Isso você já analisou e pode escolher vários.

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Fraol
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MensagemEnviado: 29 mar 2020, 01:53 
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Olá!

Obrigado pelo retorno, Fraol! Agradeço muito o seu auxílio!

Se não for muita insistência, creio que seria também de grande valia se pudesse compartilhar conosco seu modo de resolução do problema. Como descrito no post, são os raciocínios, as deduções que realizei que me causam dúvidas, principalmente em relação a esses dois pontos:

1 - a dedução abaixo está correta?

Se \(x^2\) \(\geq\) \(-x\) então \(x\) \(\geq\) \(- \sqrt{x}\)

2 - Utilizando-se de \(x = -5\), é correto considerar a proposição abaixo?

\((-5) \geq - \sqrt{-5}\)

Me atenho a esses pontos por que, embora seja uma proposição falsa, me interessa o raciocínio que devemos elaborar em relação a ela. Então, sou muito agradecido a todos(as) que puderem demonstrar o modo como avaliariam a proposição e determinariam seu valor lógico!

Já me adianto e peço desculpas pela insistência no tópico.

Até breve!

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Rafa JP

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Jeff. C. S


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MensagemEnviado: 03 abr 2020, 00:02 
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Olá,

Uma de suas questões é:

"1 - a dedução abaixo está correta?

Se \(x^2 \geq -x\) então \(x \geq -\sqrt{x}\) "

Aqui não temos uma dedução, temos um proposição, P1, com uma hipótese, \(H: x^2 \geq -x\), e uma tese, \(T: x \geq -\sqrt{x}\).

A título de exemplo para a questão original, vou delinear uma demontração para esta proposição. Isto significa que queremos mostrar que todo objeto que satisfaz H, também satisfaz T. Em termos de conjuntos queremos mostrar que \(H \subset T\).

Vamos ver quem são os elementos de H: Resolvendo a inequação \(x^2 \geq -x\), temos que \(H = (-\infty, -1) \cup [0, \infty)\).

Agora, vejamos quem são os elementos de T: Resolvendo a inequação \(x \geq -\sqrt{x}\), temos que \(T = [0, \infty)\).

Claramente, H não está contido em T. Portanto, a nossa proposição P1 é falsa. Os contraexemplos são todos os reais em \((-\infty, -1)\).

Usando o mesmo raciocínio para a questão original, concluiremos que \(R\) não é subconjunto de \([0, \infty)\).

É isso.

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Fraol
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MensagemEnviado: 06 abr 2020, 01:52 
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Muito obrigado pela imensa ajuda e esclarecimento, Fraol! Sua explicação está bem clara!

Obrigado!

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Rafa JP

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