Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Boas, preciso de ajuda quanto a resolução deste exercicio.
Alguem pode ajudar? tenho dificuldades em aplicar o teorema da divergencia na pratica

Olá

O teorema da divergência dita

\(\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int_V\left(\mathbf{\nabla}\cdot\mathbf{F}\right)dV=\int\oint_S (\mathbf{F}\cdot\mathbf{n})\,dS\)

onde \(F\) é um campo vetorial, \(S\) é uma superfície fechada, e \(V\) é o volume dentro dessa superfície

No seu caso a superfície \(M\) é a semi-esfera de raio 1 e acima do plano \(z=0\)

A divergência de \(F\) é

\(\operatorname{div}\,\mathbf{F} = \nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}\)

assim

\(\nabla\cdot\mathbf{F}=z^2+y^2+x^2\)

Assim, terá de calcular

\(\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int_V x^2 +y^2 +z^2 dV\)

agora use coordenadas esféricas onde \(r^2=x^2+y^2+z^2\)

_________________
João Pimentel Ferreira
 
_{Partilhe dúvidas e resultados, ajude a comunidade com a sua pergunta!
Não lhe dês o peixe, ensina-o a pescar (provérbio chinês)
Fortalecemos a quem ajudamos pouco, mas prejudicamos se ajudarmos muito (pensamento budista)}

Muito obrigado pelo esclarecimento, já começo a entender. Uma das duvidas que ainda mantenho é o facto de calcular o fluxo "segundo a normal com terceira componente positiva"
O que é exactamente esta normal? e que consequencias praticas traz quanto à resolução do problema?

O teorema da divergência é aplicável a normas EXTERIORES à superfície de integração. Se forem interiores, não esqueça o sinal de menos atrás do integral

_________________
José Sousa
_{se gostou da resposta, divulgue o fórumdematemática.org}

O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso.

óóóó---óóóóóó óóó---óóóóóóó óóóóóóóó
(O vento lá fora.)

Álvaro de Campos, 15-1-1928