Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Dado que para um p primo e da forma 4k+3:

\(\left ( \frac{p-1}{2} \right )!= 1 (mod p)\)
ou
\(\left ( \frac{p-1}{2} \right )!= -1 (mod p)\)
e
\(\left ( \frac{p-1}{2} \right )!\) satisfaz a congruência quadrática \(x^{2}= 1 (mod p)\)

Mostre que se p é um primo da forma 4K+3, então o produto de todos os inteiros pares menores do que p é congruente múdulo p a +-1 (mais ou menos um).

Dica: o Teorema de fermat implica que \(2^{(p-1)/2}=+- 1 (modp)\)

Mesmo com a dica, não consegui resolver. Agradeço se alguém der alguma ajuda!

Não percebi bem qual é a questão.
Se a questão é então é questão de observar que "o produto de todos os inteiros pares menores do que p" (costuma-se usar a notação \((p-1)!!\)) é igual a \((p-1)!!=2^{\frac{p-1}{2}}\times \left(\frac{p-1}{2}\right)!\).

Assim, se tanto \(\left(\frac{p-1}{2}\right)!\equiv \pm 1\mbox{ mod}p\) (mostar tal também faz parte do exercício?) como \(2^{\frac{p-1}{2}}\equiv \pm 1\mbox{ mod}p\) (resulta do teorema de Fermat: \(2^{p-1}\equiv 1\mbox{ mod}p\)), então \((p-1)!!\) também congruente com mais ou menos um módulo p.

Boa noite, Rui.

Minha dificuldade é justamente estabelecer que \((p-1)!! = 2^{(p-1)/2}\left ( \frac{p-1}{2} \right )!\)

Para simplificar, tomemos um exemplo:
\(10!!=10\times 8\times 6\times 4\times 2=(2\times 5)\times (2\times 4)\times (2\times 3)\times (2\times 2)\times (2\times 1)=2^5\times 5!\)

Assim fica mais visível a igualdade
\((2k)!!=2^k\times k!\) (observe-se que \((2k)!!=\prod_{i=1}^{k}2i=\left(\prod_{i=1}^{k}2\right)\times\left(\prod_{i=1}^{k}i\right)=2^k\times k!\))
ou a igualdade
\((p-1)!!=\left(2\times\frac{p-1}{2}\right)!=2^{\frac{p-1}{2}}\times \left(\frac{p-1}{2}\right)!\)

Agora ficou claro!
Obrigado mais uma vez, Rui.