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Dever-se-ia criar um novo fórum para espaços topológicos!!

Alguém me sabe provar que um círculo (definido em \(R^2\)) não é um homeomorfismo para um subconjunto de \(R\)

Consigo ver intuitivamente que não existe, uma aplicação homeomórfica (contínua e com inversa contínua) entre uma reta e um círculo, mas como provar?

Seja C um círculo de raio \(r\)

\(C=\left\{ x \in R^2 : |x|=r \right\}\)

Seja A um subconjunto de \(\R\), i.e. \(A=[a,b)\)

Uma aplicação bijetiva poderia ser \(f:A\rightarrow C\)

\(f(t)=\left(r \sin\left(\frac{2\pi(t-a)}{b-a}\right), r \cos\left(\frac{2\pi(t-a)}{b-a}\right)\right) \ t \in [a,b)\)

como avançar?


Muito obrigado

Olá João,

A maneira mais simples é olhar para propriedades topológicas invariantes por homeomorfismos (passe o pleonasmo). Um exemplo é a compacidade, sendo o círculo um espaço compacto e a reta real um espaço nao compacto eles não podem ser homeomorfos.

Olá caro professor

Peço desculpa, mas estou a iniciar-me nesta área da topologia.

Mas um segmento de reta fechado e limitado não é compacto, por exemplo o intervalo \([a,b]\) ?

ah, ok, mas aí haveriam dois pontos o \(a\) e o \(b\) que teriam a mesma imagem, logo não haveria inversa...

acho que começo a perceber...

Muito obrigado professor

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João Pimentel Ferreira
 
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É pois, claro. Confesso que quando li a questão de relance fiquei com a impressão que esta se resumia a saber como demonstrar que o círculo (ou circunferência) e a reta real não são homeomorfos.

Já mostrar que a circunferência não é homeomorfo a qualquer subconjunto real é um pouco mais subtil. Suponhamos que existe um subconjunto \(X\) de \(\mathbb{R}\) que é homeomorfo à círcunferência \(C=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:||(x,y)||=r\}\) e seja \(\varphi:C\stackrel{\~}{\longrightarrow}X\) um homeomorfismo. Seja \(a=\varphi(-r,0)\) e \(b=\varphi(r,0)\), pelo teorema do valor intermédio a imagem* da meia-circunferência superior \(C_{y\geq 0}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:||(x,y)||=r ; y\geq 0\}\) toma todos o valores entre \(a\) e \(b\) e pela mesma razão tal também acontece com a imagem da meia-circunferência inferior \(C_{y\leq 0}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:||(x,y)||=r ; y\leq 0\}\). Logo \(X\) terá que conter o intervalo \([a,b]\) mas cada ponto de \(]a,b[\) terá uma pré-imagem com pelo menos dois pontos o que contradiz de a injetividade de \(\varphi\).

* Note-se que para \(f_+:[-r,r]\longrightarrow C\), \(f_+(x)= (x,\sqrt{r^2-x^2})\) a aplicação composta \(\varphi\circ f_+\) é uma função contínua de \([-r,r]\) em \(\mathbb{R}\) com \(\varphi\circ f_+(r)=a\) e \(\varphi\circ f_+(-r)=b\). O mesmo raciocínio para \(f_-:[-r,r]\longrightarrow C\), \(f_-(x)= (x,-\sqrt{r^2-x^2})\)