Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Teorema :

i) " Derivabilidade implica continuidade ,o recíproco deste teorema não é verdadeiro ".

Segue a dúvida :

Se as derivadas laterais existam em \(x = p\) e são iguais ,f é derivável em x = p sobre hipótese de f ser descontínua em x = p ?

Não seria uma contradição caso a resposta for sim ? Pois ,se f é derivável em x = p então f é contínua em x = p .

Não sei se percebi a sua dúvida... Mas o recíproco do teorema seria

"Continuidade implica derivabilidade"

O que, tal como é apontado, é falso.

Boa noite .

Se f é uma função que não é contínua em p , mas definida em p . Isto é ,
existe \(f(p) = k\) para p e k reais , mas os limites laterais diferem quando \(x \to p\) , \(\nexists \lim_{x\to p} f(x)\) (não existe \lim_{x\to p} f(x) ) .

Minha dúvida :

Se existe as derivas laterais em x = p e são iguais , \(f'_{-} (p) = f'_{+} (p) = L\) (para algum L real )

Então , \(f\) é derivável em x = p ?

Se a resposta for sim ,isto é , f é derivável em\(x = p\) não seria uma contradição ? Pois, se f é derivável em x = p ,então f é contínua em p que é um absurdo pois por hipótese f é descontínua em p .

Espero que ficou claro .Qualquer dúvida posso postar um exemplo de uma função com tal propriedade para exemplificar.

Desde já agradeço .

A situação que descreve não é possível... Suponha que existe a derivada à direita. Nesse caso,

\(\lim_{x \to p^{+}} \frac{f(x)-f(p)}{x-p} < \infty\)

Ora, isto implica que

\(\lim_{x \to p^{+}} (f(x) -f(p)) = 0\)

já que de outro modo o primeiro limite não poderia ser finito. Concluímos então que f tem que ser contínua à direita. Do mesmo modo conluiriamos que f deve ser contínua à esquerda e por isso continua no ponto p.

OK, obrigado .