Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

A expressão \((2\sqrt{3} + \sqrt{5})^5 - (2\sqrt{3} - \sqrt{5})^5\) é????

Oi Amanda1976,
seja bem-vinda!!

Para facilitar as contas, consideremos \(\fbox{(2\sqrt{3} + \sqrt{5}) = a}\) e \(\fbox{(2\sqrt{3} - \sqrt{5}) = b}\)
Então,

\(\\ a^2 = 4 \cdot 3 + 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{5} + 5 \\\\ a^2 = 12 + 4\sqrt{15} + 5 \\\\ \fbox{a^2 = 17 + 4\sqrt{15}}\)

E,

\(\\ b^2 = 4 \cdot 3 - 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{5} + 5 \\\\ b^2 = 12 - 4\sqrt{15} + 5 \\\\ \fbox{b^2 = 17 - 4\sqrt{15}}\)

E também,

\(\\ ab = (2\sqrt{3} + \sqrt{5})(2\sqrt{3} - \sqrt{5}) \\\\ ab = 4 \cdot 3 - 5 \\\\ \fbox{ab = 7}\)


Com efeito,

\((2\sqrt{3} + \sqrt{5})^5 - (2\sqrt{3} - \sqrt{5})^5 =\)

\(a^5 - b^5 =\)

\((a - b)(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4) =\)

\((a - b)\left [ a^2(a^2 + ab) + b^2(ab + b^2) \right ] =\)

\((2\sqrt{3} + \sqrt{5} - 2\sqrt{3} + \sqrt{5})\left [(17 + 4\sqrt{15})(17 + 4\sqrt{15} + 7) + (17 - 4\sqrt{15})(7 + 17 - 4\sqrt{15}) \right ] =\)

\(2\sqrt{5}\left [(17 + 4\sqrt{15})(24 + 4\sqrt{15}) + (17 - 4\sqrt{15})(24 - 4\sqrt{15}) \right ] =\)

\(2\sqrt{5}\left (408 + 68\sqrt{15} + 96\sqrt{15} + 240 + 408 - 68\sqrt{15} - 96\sqrt{15} + 240 \right ) =\)

\(2\sqrt{5}\left (408 + 240 + 408 + 240 \right ) =\)

\(2\sqrt{5} \cdot 1296 =\)

\(\fbox{2592\sqrt{5}}\)

_________________
Daniel Ferreira
_{se gosta da resposta,
RESPONDA A QUEM PRECISA}