Fórum de Matemática
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Olá, tentei resolver tal problema por fatoração, mas não encontrei uma solução plausível que não fosse estimando, então gostaria de saber se existe uma maneira mais prática e direta.

Quem é maior \(\sqrt[3]{60}\) ou \(2 + \sqrt[3]{7}\)

Sem certezas, mas achando que estou a contribuir

fica assim: 60¹\³ e
2³\³ + 7¹\³ fica 9⁴\³
2+... é maior porque tem expoente maior! Julgo... Depois diz se está certo ou errado_!

Não podemos realizar essa conta que vc fez....

Bem me parecia... As bases têm de ser iguais!!

\(\\ 2 + \sqrt[3]{7} = \\\\ \sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{7} =\)


Sabemos que,

\(\\ \sqrt[3]{8} \times \sqrt[3]{7} > \sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{7} \\\\ \sqrt[3]{8 \times 7} > \sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{7} \\\\ \fbox{\sqrt[3]{56} > \sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{7}}\)


Logo,

\(\fbox{\fbox{\fbox{\sqrt[3]{60} > 2 + \sqrt[3]{7}}}}\)

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Daniel Ferreira
_{se gosta da resposta,
RESPONDA A QUEM PRECISA}

Infelizmente tal não é verdade.
Tem que haver outra maneira mas não estou ver qual (sem ser uns fastidiosos cálculos com desenvolvimentos de Taylor).

Seguindo a sugestão do prof. Rui Carpenier

Sabemos pela expansão em série dos binómios, que

\((1 + x)^\alpha = \sum_{k=0}^{\infty} \; {\alpha \choose k} \; x^k\)

logo fazendo uma substituição \(1+x=z\) e \(\alpha=1/3\) temos que

\((z)^{1/3} = \sum_{k=0}^{\infty} \; {1/3 \choose k} \; (z-1)^k\)

simplificando temos que saber se

\(\sum_{k=0}^{\infty} {1/3 \choose k} (59^k-6^k)\) é maior que \({2}\)

mas confesso que também não sei avançar....

Olá, boa noite.

Gostaria de entrar nessa discussão. Não saquei bem em que nível de ensino essa questão foi colocada. Pode ser que o questionador queira uma solução via produtos notáveis. Contudo vou levar a minha participação pelo lado da análise de funções.

A função \(\sqrt[3]{x}\) é côncava para \(x \in [0, + \infty )\), que é o caso desse problema, certo? Corrijam-me os professores se equivoco-me.

Para uma função assim temos que: \(f \left( \frac{x_1+x_2}{2}\right) \ge \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}\), esse resultado pode ser visto aqui.

Assim se fizermos \(f(x) = \sqrt[3]{x}, x_1 = 7, x_2 = 8\) então teremos: \(f \left( \frac{7+8}{2}\right) \ge \frac{f(7)+f(8)}{2}\)

\(\Rightarrow \sqrt[3]{\frac{15}{2}} \ge \frac{\sqrt[3]{7} + \sqrt[3]{8}}{2}
\Leftrightarrow \left( \sqrt[3]{\frac{15}{2}} \right)^3 \ge \left( \frac{\sqrt[3]{7} + \sqrt[3]{8}}{2} \right)^3
\Leftrightarrow \frac{15}{2} \ge \frac{\left( \sqrt[3]{7} +2 \right)^3}{8}
\Leftrightarrow 60 \ge \left( \sqrt[3]{7} +2 \right)^3
\Leftrightarrow \sqrt[3]{60} \ge \sqrt[3]{7} + 2\)

E assim temos o resultado para a questão.

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Fraol
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Caro Francisco

Excelente raciocínio, parece-me que está certo

Saudações pitagóricas

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João Pimentel Ferreira
 
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