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DÚVIDAS? Nós respondemos!

Boa tarde,

Não sei resolver este exercício e preciso entregar. Já resolvi as alíneas anteriores, mas estas com tempos à mistura não estou a conseguir mesmo... ALGUMA DICA PFF??

Considere que o número de pilares construídos por dia numa dada obra é uma v.a. com distribuição de Poisson de variância igual a 2 pilares^2. Admita que a obra começou numa segunda-feira e que se trabalha 8 horas por dia (4 horas de manhã e 4 horas à tarde).
(a) Sabendo que na segunda-feira se construíram apenas 2 pilares, qual a probabilidade de que na terça-feira sejam construídos pelo menos 3 pilares?
(b) Qual a probabilidade de que o primeiro pilar seja construído apenas na terça-feira?
(c) Qual a probabilidade de que o primeiro pilar seja construído apenas na parte da tarde de terça-feira?

Obrigada!!!

Olá Nini
Perdoa a resposta tão tardia, mas só há pouco tempo descobri o tópico por responder. Já não deve valer a pena para ti, mas poderá ajudar outros.

Sejam, X=v.a. que mede o número de pilares construídos por dia numa dada obra, tal que X~Poisson(\(\lambda\)) e \(\sigma^{2}=4\). (Obs.: numa distribuição de Poisson, o valor médio é igual à variância, i.e. \(\mu=\sigma^{2}=\lambda=4\)).

A função probabilidade de uma variável Poisson é, \(P(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^{k}}{k!}\).

Designa-se por Xi=# de pilares construídos no dia i.

Admitindo que a obra começou numa 2.ª feira e que se trabalha 8 h/dia (4 h de manhã e 4 h de tarde).

(a) Sabendo que na 2.ª feira se construíram apenas 2 pilares, qual a probabilidade de que na 3.ª feira sejam construídos pelo menos 3 pilares?

Uma vez que uma variável Poisson não tem memória (ou seja, os acontecimentos do dia anterior são independentes dos acontecimentos do presente dia), logo a probabilidade condicionada pedida é dada por:

\(P(X_{2}\geq 3|X_{1}=2)=P(X_{2}\geq 3)=P\left(X\geq 3 \right)=1-P\left( X<3 \right)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)=1-\frac{e^{-4}4^{0}}{0!}-\frac{e^{-4}4^{1}}{1!}-\frac{e^{-4}4^{2}}{2!}\)

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F. Martins

(b) Qual a probabilidade de que o primeiro pilar seja construído apenas na terça-feira?

Uma vez mais, como os dias são independentes, as variáveis são independentes e tem-se:
\(P(X_{2}=1\cap X_{1}=0)=P(X_{2}=1)P(X_{1}=0)=\frac{e^{-4}4^{1}}{1!}\frac{e^{-4}4^{0}}{0!}\)

(c) Qual a probabilidade de que o primeiro pilar seja construído apenas na parte da tarde de terça-feira?

Neste caso, como a unidade em que é medida a variável Poisson passa a ser meio-dia, então pode considerar-se a nova variável Poisson:

Y=v.a. que mede o número de pilares construídos por cada meio dia numa dada obra, e Y~Poisson(\(\lambda/2\))=Poisson(2)

Designa-se por Xi=# de pilares construídos no meio dia i.

Então, \(P(X_{4}=1\cap X_{3}=0\cap X_{2}=0\cap X_{1}=0)=P(X_{4}=1)P(X_{3}=0)P(X_{2}=0)P(X_{1}=0)=\frac{e^{-2}2^{1}}{1!}\frac{e^{-2}2^{0}}{0!}\frac{e^{-2}2^{0}}{0!}\frac{e^{-2}2^{0}}{0!}\)

Bom estudo

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