Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Dada a sequência \(x_{n}=\sqrt{n+\sqrt{n}}-\sqrt{n}\), verificar se converge e, caso positivo, calcular o limite.

Obs: parece-me que ela é limitada, pois:
\(x_{n}=\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+\sqrt{n}}+\sqrt{n}}<\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}}{2\sqrt{n}}=\frac{1}{2}\).
Mas estou com dificuldades em calcular
(i) a monotonicidade ( o que garante a convergência);
(ii) o limite, caso ela convirja.
Alguém pode dar uma dica?

Dica:

Divida ambas as componentes da fracção \(x_n=\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+\sqrt{n}}+\sqrt{n}}\) por \(\sqrt{n}\).

Mas neste caso teríamos \(x_{n}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{\sqrt{n}}{n}}+1}\) e ainda uma indecisão na fração \(\frac{\sqrt{n}}{n}\).

\(\frac{\sqrt{n}}{n} = \frac{1}{\sqrt{n}} \to 0\)

obrigado!