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Desafio do dia: Encontre o menor número primo N em que as seguintes sentenças sejam todas verdadeiras:
I) O maior fator primo de N-1 é A;
II) O maior fator primo de A-1 é B;
III) O maior fator primo de B-1 é 7.

Olá, boa noite,

Como B-1 tem como maior fator primo 7, então B-1 é múltiplo de 7:

\(B-1 = 7 \cdot R \Rightarrow B = 7R+1\)

Como B é o maior fator primo de A - 1, então A-1 é múltiplo de B:

\(A-1 = B \cdot Q \Rightarrow A = B \cdot Q + 1\)

Como Á é o maior fator primo de N - 1, então N-1 é múltiplo de A:

\(N-1 = A \cdot P \Rightarrow N = A \cdot P + 1\)

Substituindo nessa última expressão os correspondentes das expressões anteriores teremos:

\(N = ((7R+1) \cdot Q + 1) \cdot P + 1\)

(Puxa! grande coisa, estávamos com as incógnitas N, A e B e agora temos N, P, Q e R ...)

A diferença agora é que P, Q e R são parâmetros, pois o problema pede o menor primo N que satisfaz as condições. Assim deveremos ter P, Q e R sendo os menores valores possíveis.
Por inspeção verificamos que P = Q = R = 1 não serve pois N seria 10.
Então, novamente por inspeção de valores podemos concluir que para \(P=Q=1\) e \(R=2\) temos \(N = 17\), o menor primo.

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Fraol
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