Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Olá,

Sou novo no fórum, e gostaria de pedir ajuda para com a seguinte questao:

Determine o resto da divisao de 111...111 por 1001. O número 111...111 possui 2013 algarismos, todos 1.

EDIT:
Observando exercicios semelhantes, fiz o raciocinio:
EDIT2:
Correção de A = 9A, obrigado Rui Carpentier

\(111...111 = A\);
\(9A = 10^{2013} - 1\);

\(10^3 \equiv (-1) mod(1001)\)
\((10^3)^{671} \equiv (-1)^{671} mod(1001)\)
\(10^{2013} \equiv - 1 mod(1001)\)
\(10^{2013} - 1 \equiv -1 -1 mod(1001)\)
\(9A \equiv -2 mod(1001)\)
\(-2 \equiv 999 mod(1001)\)
\(9A \equiv 999 mod(1001)\)
\(9 * A \equiv 9 * 111 mod(1001)\)
\(111 \equiv A mod(1001)\)

Logo, \(A - 111 = 1001q\);
\(A = 1001q + 111\)

Portanto, o resto da divisão de \(111...111\)(2013 1's) por \(1001\) é igual a \(111\).

Tinha visto sua pergunta, mas confesso que não estava a ver como resolver

muito obrigado por partilhar a solução

a comunidade agradece

vá passando por aqui, suas contribuições são benvindas

_________________
João Pimentel Ferreira
 
_{Partilhe dúvidas e resultados, ajude a comunidade com a sua pergunta!
Não lhe dês o peixe, ensina-o a pescar (provérbio chinês)
Fortalecemos a quem ajudamos pouco, mas prejudicamos se ajudarmos muito (pensamento budista)}

Só uma pequena emenda:

Se \(A=111\dots 111\) com 2013 algarísmos então \(10^{2013}-1=9A\) e não \(10^{2013}-1=A\) como é afirmado. Tal não inviabiliza o raciocínio seguido só que a resposta será 111 e não 999.

Outra maneira de ver é a seguinte: \(1001\times 111=111111\) logo qualquer número da forma \(111\dots 111\) com \(6n\) algarísmos é múltiplo de 1001, em particular \(N=111\dots 111\) com 2010 algarísmos. Assim \(A=1000N+111\) logo o resto é 111.

Obrigado





Muito obrigado, corrigi a resposta!