Fórum de Matemática
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Podem dar-me um empurrãozinho para resolver este exercício?
Não estou a conseguir encontrar o operador de diferença: ai = ai+1 − ai


Por recurso ao metodo telescopico comprove a igualdade:


\(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k+3)(5+2k)} = \frac{n}{5(5+2n)}\)
para n>=1

Determinei os números reais \(\alpha\) e \(\beta\)

para os quais obtive \(\alpha\) = 1/2 e \(\beta\) = -1/2

mas não consigo chegar a nenhuma expressão da tabela das diferenças e anti-diferenças
ou comprovar a igualdade como é pedido no exercício...

olá

eu não sei exatamente o que é o método telescópio, mas parecem-me séries de mengoli (talvez seja a mm coisa)

\(\frac{1}{(2k+3)(5+2k)}=\frac{A}{2k+3}+\frac{B}{2k+5}\)

\(\left A = \frac{1}{2k+5} \right |_{k=-3/2}=1/2\\ \left B=\frac{1}{2k+3} \right |_{k=-5/2}=-1/2\\\)

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\(\frac{1}{(2k+3)(5+2k)}=\frac{1/2}{2k+3}-\frac{1/2}{2k+5}\\
\\ a_k=\frac{1/2}{2k+3}\\
\\ a_{k+1}=\frac{1/2}{2(k+1)+3}=\frac{1/2}{2k+5}\\\)

então está perante

\(\sum_{k=1}^n a_k-a_{k+1}=(a_1-a_{2})+(a_2-a_{3})+(a_3-a_{4})+...(a_n-a_{n+1})=a_1-a_{n+1}=\frac{1/2}{2+3}-\frac{1/2}{2(n+1)+3}=\\ =\frac{1/2}{5}-\frac{1/2}{2n+5}=\frac{1/2(2n+5)-5/2}{5(2n+5)}=\\ =\frac{n}{5(2n+5)}\\ cqd\)

_________________
João Pimentel Ferreira
 
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João Ferreira:

Obrigado pelos esclarecimentos, vou estudar melhor a resolução que publicou.

Não sei se será bem a mesma coisa mas parece-me que sim...

Soma telescópica:
http://pt.wikipedia.org/wiki/Soma_telesc%C3%B3pica

Entretanto após pesquisar mais sobre as séries de Mengoli
verifiquei que é a mesma matéria.

Obrigado