Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

boa tarde a todos!
nunca na história desse país pensei que me registraria num fórum de matemática hehe
mas enfim, aqui estou eu com uma dúvida

eu gostaria de saber como descobrir a localização, no eixo X e Y, de um ponto ao longo do perímetro de uma circunferência.
explicando melhor: eu tenho o seguinte plano com uma circunferência (anexo na imagem), sendo que o raio R=10; o Ponto 1 está na posição (0,-10); pergunta: em que posição está o Ponto 2?


obs: a distância entre o Ponto 1 e o Ponto 2 é de ((2∏R)/100)*16, ou seja, dividi o perímetro em 100 unidades e coloquei um ponto a 16 unidades de distância do outro.

se eu tiver usado algum termo errado, ou não tiver explicado direito, é só avisar.
obrigado desde já!

Caro companheiro,

O fato concreto é que uma forma de medir a distância entre os dois pontos é considerar que essa distância é a base de um triângulo isósceles cujos lados iguais valem R = 10 ( é a ligação de cada ponto com o centro da circunferência ).

((2∏R)/100)*16 corresponde a um ângulo de 16∏/50 então o ângulo entre os lados iguais, nesse caso seu, é ∏/2 - 16∏/50 ou seja 9∏/50 cujo coseno você pode encontrar numa calculadora ou tabela específica (encontrei 0.8443279255 para esse coseno).

Assim você pode aplicar a lei dos cosenos para calcular o terceiro lado.

Qualquer dúvida manda de volta.

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Fraol
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Fraol, muito obrigado pela resposta
nem tinha pensado em colocar o triângulo. acho que ainda me falta esse raciocínio matemático hehe

mas não entendi muito bem como utilizar a lei dos cosenos para identificar a posição do 3º vértice do triângulo no plano cartesiano. poderia me esclarecer um pouco mais?
estou terminando a faculdade de veterinária, então já tem bem uns 5 anos que eu não estudo geometria. por isso as perguntas meio óbvias :P

obrigado!

Olá,

Antes de mais nada deixa eu corrigir a medida do ângulo pois não prestei atenção em

Estava usando o ângulo de fora, mas sua informação indica o ângulo entre os lados desse triângulo que visualizei, então o ângulo vale \(\frac{16 \pi}{50}\) cujo coseno é \(0.53583\).

Agora vamos à lei dos cosenos: Ela diz que o quadrado do lado desconhecido é igual à soma dos quadrados dos lados conhecidos menos duas vezes o produto dos lados conhecidos pelo coseno do ângulo entre eles, ou seja:

\(a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos \theta\)

No nosso problema então: \(a^2 = (10)^2 + (10)^2 - 2 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 0.53583\)

Fazendo as contas chega-se a \(a = 9,64\).

Segue uma figura ilustrativa:

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Fraol
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obrigado, entendi até aí. o que não entendi é como conseguir as coordenadas, no plano cartesiano, do ponto 2. se tiver pelo menos uma coordenada, em qualquer um dos eixos, entendo que é possível achar a outra através de uma simples hipotenusa.
tentei encaixar triângulos em todo lugar, mas não cheguei a uma conclusão

qual programa vc utiliza para fazer esses gráficos?
obrigado!

Boa tarde continuando a conversa:

As coordenadas do ponto são mais fáceis de encontrar do que a distância entre os dois pontos.

Observe na figura que enviei que o ângulo complementar ao indicada mede \(32,4^o\) ou em radianos \(\frac{9 \pi}{50}\) cujos seno = 0,53583 e coseno = 0,84433.

No caso desse problema essas coordenadas são:

\(x = R cos(\theta)\)
\(y = - R sin(\theta)\)

Então

\(x = 10 cos(\frac{9 \pi}{50})\)
\(y = -10 sin(\frac{9 \pi}{50})\)

Substituindo tem-se \(x = 8,4433\) e \(y = - 5,3583\).

A precisão vai depender do número de casas decimais usadas.

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Fraol
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ahhh, a coisa tá ficando boa!
tentei aplicar o que vc explicou, mas ainda não tive muito sucesso ainda. se o arco entre o ponto 1 e o ponto 2 fosse 1/4 do perímetro,
e o ponto 1 estivesse na posição (0,-10), então o ponto 2 deveria estar na posição (10,0), correto? pois é onde a circunferência tange o eixo x, certo?

tentei aplicar na fórmula dessa forma:
\(X = 10Cos \left ( \frac{\pi }{4}\right)\)
\(Y = -10Sen \left ( \frac{\pi }{4} \right )\)

mas obtive os valores X=7,0717 e Y=-7,0703

o que fiz errado? hehe
obrigado, está me ajudando muito!

Beleza,
O raciocínio está certo, o ângulo não. Nesse caso o ângulo entre os pontos seria \(\frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}\)
Então o ângulo fora do arco seria 0 (zero grau), concorda?, e aí você usaria o coseno de 0 que é 1 e o seno de 0 que é 0 e daria certo.

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Fraol
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ahh, agora sim!
isso é pra vc ver como estou por fora da geometria. não lembrava nem que 180º, em radianos, equivale a ∏! hehe
então nestes casos eu devo sempre usar o ângulo complementar? ou isso não é uma regra?
mas tentando mais uma:
considerando que o arco entre o ponto 1 e o ponto 2 é de 1/8 do perímetro, então o cálculo seria:
\(X=10Cos \left( \frac{\pi}{2}- \frac{\pi }{8} \right)\)
\(Y=-10Sen \left( \frac{\pi}{2}- \frac{\pi }{8} \right)\)

resultando em:
X= 3,8268
Y= 9,2387

por algum motivo ficou estranho. se eu fizer a mesma conta com 4/8 ao invés de 1/8, o resultado é o esperado (0,10).

é possível fazer isso direto com graus, ao invés de radianos?

Boa noite,

As fórmulas \(x = Rcos(\theta), y = Rsen(\theta)\) são válidas sempre que você considerar o ângulo no sentido anti-horário a partir do eixo horizontal.

No caso desse seu problema a gente fez um pequeno ajuste considerando que você colocou o arco no quarto quadrante.

No caso desse seu último exemplo você deve considerar que 1/8 de uma volta na circunferência é igual a \(\frac{2\pi}{8}\). Se você refizer as contas deve ficar ok.

O ângulo deve ser considerado em radianos pois você está considerando o perímetro como \(2 \pi R\).

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Fraol
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