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Determine as dimensões do cilindro de maior volume que pode ser inscrito em uma esfera de raio igual a 6 centímetros.

interessante

estamos perante um exercício de otimização

a eq. da esfera de centro \((0,0,0)\) é

\(x^2+y^2+z^2=6^2\)

considerando apenas a semiesfera superior, a altura \(z\) é dada por

\(z=\sqrt{6^2-x^2-y^2}\)

o raio do cilindro (paralelo ao plano xOy) é dado por \(r^2=x^2+y^2\) ora então fica com uma equação que é:

\(r^2+z^2=6^2\)
\(r^2=6^2-z^2\)

o volume do cilindro inscrito é então em função da altura (z)

\(V(z)=\pi r^2 h =\pi r^2 2.z=2\pi (6^2-z^2).z\)

basta agora achar o máximo derivando e igualando a zero, ou seja resolver \(\frac{dV}{dz}=0\)

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João Pimentel Ferreira
 
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