Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Dúvida cruel:

O limite de (7n^5 + 2n^2)/(n-2n^3), com n tendendo a + infinito. A resposta correta seria (-) infinito?
Trata-se de uma série. Por L´Hospital cheguei a 7/0, que não é indeterminação, logo avaliei o sinal do denominador e constatei que é negativo. Teriam como comprovar isto para mim? Obrigado a todos.

Boa noite,

Uma forma alternativa é dividir por \(n^3\) todos os membros, assim ficará mais fácil tomar o limite sem recorrer a outras teorias.

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Fraol
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Amigo, obrigado pela atenção. Poderia me dizer se realmente o resultado será (-) infinito? Ou pode-se considerar um infinito qualquer?

Olá, vou expor o meu raciocínio para a avaliação por você e demais membros:

Partindo da expressão inicial: \(\frac{7n^5 + 2n^2}{n-2n^3}\) podemos multiplicá-la por \(1 = \frac{\frac{1}{n^3}}{\frac{1}{n^3}}\):

\(\frac{7n^5 + 2n^2}{n-2n^3} \cdot \frac{\frac{1}{n^3}}{\frac{1}{n^3}} = \frac{7n^2 + \frac{1}{n}}{\frac{1}{n^2}-2}\)

Agora se tomarmos o limite, para \(n\) indo ao infinito, a expressões com \(n\) no denominador tenderão a zero sobrando \(\frac{7 \cdot \infty}{-2} = - \infty\)

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Fraol
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Perfeito! Agradeço de coração. Só mais uma pergunta: posso aceitar que nestes casos, onde temos uma série infinita, ou seja, que está implícito o conceito de infinito, posso aceitar que o resultado possa ser apenas infinito SEM O SINAL DE MENOS?

Usamos apenas \(\infty\) quando, por algum meio, chegamos a \(+ \infty\). Quando tivermos uma situação negativa devemos deixar isso explícito, usando o sinal de menos (-).

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Fraol
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Ao me deparar com a questão em anexo, vi-me completamente intrigado com alguns aspectos conceituais, os quais foge-me à compreensão. Motivo pelo qual, se possível, gostaria imensamente de obter a opinião dos Srs.

Calcule o limite de a_n (7n^5+2n^2)/(n-2n^3 )

"Em matemática, o conceito de série, ou ainda, série infinita, surgiu da tentativa de generalizar o conceito de soma para uma sequência de infinitos termos. Esta generalização, longe de acontecer de forma impune, traz diversas dificuldades:
nem sempre é possível definir um valor resultante da soma para uma série;
não é possível em geral trocar a ordem dos termos da série;
algumas séries possuem soma infinita.
Embora a ideia de soma infinita seja bastante antiga, uma formulação matemática rigorosa só veio a surgir no século XVIII, com o advento da análise real, que denota e define uma série de termos da seguinte forma:

A teoria das séries divergentes generaliza este conceito de soma para alguns casos quando este limite não existe. (Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre)".

Ocorre que é apresentada uma série, da qual devemos calcular o seu limite. Não é informado para que valor tende o n do limite, mas que isso, poder-se-ia deixar de lado, por se subentender que estamos lidando com séries infinitas, e somente por este fato tal valor indicativo seria irrelevante, conforme alguns amigos me orientaram. Eis aí o busílis da questão: independentemente deste conceito de se atribuir um infinito genérico para n, sem sinal de mais ou menos, o resultado será menos infinito -∞. E é justamente isso que pretendo provar aqui. Resolvendo passo a passo a questão do enunciado, por L´Hospital, chegamos a 7/0. Não podemos a partir daí, aceitar que há uma indeterminação, pois indeterminação tem característica própria: 0/0,∞/∞. No caso em tela, temos que descobrir o valor do sinal do denominador para nos assegurarmos quanto ao resultado final do limite, pois estamos diante de um quociente de polinômios, cujo numerador possui sinal contrário ao denominador, como se provará aqui, sendo certo ainda, que o índice do primeiro (5) é maior do que o do segundo (3). Ora, mais (+) dividido por menos (-) dá menos (-). Não concordo que diante de 7/0, simplesmente demos como resultado final o valor ∞.

Atentemos para as propriedades abaixo:
"a) ou será igual à divisão das constantes que acompanham o termo de maior grau (se o termo de maior grau aparece no numerador e denominador);
b) ou será igual a ±∞ (dependendo do sinal das constantes), se o termo de maior grau aparece somente no numerador;
c) ou será igual a 0, se o termo de maior grau aparece somente no denominador".

7/0 não é uma forma indeterminada, tem um significado, logo, precisamos analisar melhor, para verificar a razão de seu denominador ser zero. 1/n^4 -2/n^2 = 1/n^2 (1/n^2 -2)

Isso significa que o denominador será um número positivo quando ambas as expressões...
1/n^2 e (1/n^2 -2) forem negativas, assim, assumindo que, n tende para o infinito genérico, conforme, segundo alguns entendem ser assim, a primeira expressão é positiva... 1/n^2
e a segunda será negativa... (1/n^2 -2)
logo, o resultado será, inevitavelmente, negativo (+ * -), ou seja, o n do denominador se aproxima de zero pelo -∞. Conseqüentemente, dividindo ambas as frações, temos que: (n (vindo do+∞))/(n (vindo do-∞) )= -∞

Reforçando os argumentos acima, chamo a atenção para o fato de que, com base no GRÁFICO abaixo, demonstro que as imagens, decorrentes dos valores atribuídos à n, sempre estarão no campo dos infinitos negativos. Vejamos:
n→( -3)→Imagem=(-33)
n→( -2)→Imagem=(-108/7)
n→( -1)→Imagem=(-5)
n→( 0 )→Imagem=(0)
n→( +1)→Imagem=(-9)
n→( +2)→Imagem=(-116/7)
n→( +3)→Imagem=(-573/17)
n→( ∞ )→Imagem=(-∞)
n→(+∞)→Imagem=(-∞)
n→(-∞)→Imagem=(-∞)

Amigos, testando os cálculos em calculadoras científicas verifiquei que o resultado confere com o exposto acima.

Os argumentos acima podem ser considerados, ou conceitualmente estou equivocado? Se puder me explicar agradeceria muito. Posso aceitar que o resultado deste limite é simplesmente INFINITO SEM SINAL DE MENOS?

Existe alguma referência, algum livro que explicita este fato sem deixar qualquer dúvida quanto a isso?

Olá, deve colocar um problema por tópico

Saudações

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João Pimentel Ferreira
 
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Ola amigo, fiz esta pergunta com base no que declinou: "Quando tivermos uma situação negativa devemos deixar isso explícito, usando o sinal de menos (-)". Preciso localizar uma propriedade que me assegure isso. Certamente você tem esta informação, e se fosse possível, ficaria muito grato se me ajudasse. Teria como?