Fórum de Matemática
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Olá amigos, uma vez calculado o limite de uma série infinita, sendo certo que seu resultado foi infinito negativo, alguém poderia me indicar a propriedade que me proíba de omitir o sinal de negativo do infinito na resposta? Há uma vertente de matemáticos que asseguram que, em se tratando de limites (com séries infinitas), não importa o sinal do negativo no infinito (na resposta). Segundo eles, o que importa é que o limite vai para o infinito. Preciso comprovar que o sinal do infinito é relevante e não há propriedade que me autorize omitir sinais de infinitos. Obrigado.

Oi Misael,

Desculpe a insistência, mas se uma conta der negativo você deve apresentar o sinal de negativo.

No caso de séries, o que se discute é o conceito de convergência: Um série ou converge ( tende para um número real ) ou diverge.
Quando ela diverge, realmente não interessa o sinal pois se ela diverge ela não tende a número algum.

Por exemplo, há casos de séries divergentes envolvendo funções periódicas como as trigonométricas, que podem ficar oscilando infinitamente entre 1 e -1. Nesse caso não temos o + ou - infinito e sim o + ou - 1. Então isso é uma característica relacionada com a convergência ou divergência.

A discussão é boa.

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Fraol
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Ola´amigo, veja em que pé ta isso:

Limites infinitos e limites no infinito

A definição de limite de uma função se estende aos casos em que, ou a função, ou a variável independente, ou ambas, tendem a valores infinitos. Dizer que uma variável tende a +∞ significa dizer que ela fica maior do que qualquer número k>0. Uma semi-reta do tipo x>k é, por assim dizer, uma "vizinhança de +∞". Analogamente, x<k, qualquer que seja k, em particular k<0, é uma "vizinhança de -∞".

As definições seguintes são bastantes naturais e dispensam maiores comentários.
DEFINIÇÕES: Seja f uma função com domínio D e seja a um ponto de acumulação de D. Diz-se que f(x) tende a +∞ com x→a se, dado qualquer número k > 0, existe δ>0 tal que x ϵ V^' δ(a)∩D⇒f(x)>k. De modo análogo, diz-se que f(x) tende a -∞ com x→a se, dado qualquer k>0, existe δ>0 tal que x ϵ V^' δ(a)∩D⇒f(x)<-k Indicam-se esses limites, respectivamente, com os símbolos:
〖lim〗┬(x→a)⁡〖f(x)=+∞〗 e 〖lim〗┬(x→a)⁡〖f(x)=-∞〗
Suponhamos agora que D seja ilimitado superiormente. Diz-se que f(x) tem limite L com x→+∞ se, dado qualquer ε>0, existe um número k>0 tal que x ϵ D, x>k⇒|f(x)-L|<ε. Analogamente, sendo D ilimitado inferiormente, diz-se que f(x) tem limite L com x→-∞ se, dado qualquer ε>0, existe um número k>0 tal que x ϵ D, x<-k⇒|f(x)-L|<ε. Esses limites são indicados, respectivamente, com os símbolos
〖lim〗┬(x→+∞)⁡〖f(x)=L〗 e 〖lim〗┬(x→-∞)⁡〖f(x)=L〗
Definem-se também, de maneira óbvia,
〖lim〗┬(x→a+)⁡〖f(x)=+∞〗, 〖lim〗┬(x→a+)⁡〖f(x)=-∞〗
〖lim〗┬(x→a-)⁡〖f(x)=+∞〗, 〖lim〗┬(x→a-)⁡〖f(x)=-∞〗
〖lim〗┬(x→+∞)⁡〖f(x)=+∞〗, 〖lim〗┬(x→+∞)⁡〖f(x)=-∞〗
〖lim〗┬(x→-∞)⁡〖f(x)=+∞〗, 〖lim〗┬(x→-∞)⁡〖f(x)=-∞〗

TEOREMA. a) Toda função monótona e limitada, cujo domínio contenha um intervalo do tipo [c,+∞], possui limite com x→+∞; b) toda função monótona e limitada, cujo domínio contenha um intervalo do tipo [-∞,c], possui limite com x→-∞.
|n-L|<ε; -ε<n<-L; L-ε<n<L+ε;
É fácil descobrir o limite do quociente de dois polinômios de graus diferentes, dividindo o numerador e o denominador pela maior potência de n:

PRETENDO PROVAR ISSO ME UTILIZANDO DO TESTE DE INTEGRAIS, POR ABSURDO. SE EU PROVAR QUE A ÁREA SERÁ SEMPRE INFINITA NÃO HAVERÁ PORQUE OMITIR O SINAL, FICARIA CONTRADITÓRIO.

Teorema. Seja f(x) uma função positiva, contínua e decrescente em x≥1,e a_n=f(x). Então
∑_(n=2)^N▒〖f(n)〗<∫_1^N▒〖f(x)dx〗<∑_(n=1)^(N-1)▒〖f(n)〗
Em conseqüência, a série ∑▒a_n converge ou diverge, conforme a integral que aí aparece seja convergente ou divergente, respectivamente, com N→∞.

Não há como sustentar a hipótese de que um limite possa tender para um infinito qualquer (sem sinal de mais ou menos), lastreado na dedução de que, por se tratar de séries infinitas, tal conceito estaria implícito. Não encontro qualquer respaldo matemático neste sentido.

Função sem domínio e sem imagem não é função, pois sua característica principal é justamente esta relação que há entre o conjunto de partida (domínio) e o conjunto de chegada (imagem). Analogamente, limites sem tendência ou tendendo para qualquer n, sem especificar qual, não é limite. Limite sem tendência definida não passa de mera fração, e isso é propriedade fundamental dos limites.

Mesmo que se insista em atribuir a n uma tendência infinita sem sinal algum, deduzindo que a série infinita, por si só, daria suporte a irrelevância dos sinais, o resultado deste limite, obrigatoriamente, vai indicar, mesmo a contragosto, um sinal para o infinito, e no caso em tela, será negativo.

A título de curiosidade, esqueçamos o limite em questão, e simplesmente vamos dividir os polinômios ((7n^5+2n^2)/(n-2n^3 )). O sinal será negativo, como podemos comprovar.
(7n^5+2n^2)/(n-2n^3 )=-(7n^4+2n)/(2n^2-1)

PROVA nº 1
n = +1
(7n^5+2n^2)/(n-2n^3 )=-(7n^4+2n)/(2n^2-1)
(7(1)^5+2(1)^2)/((1)-2(1)^3 )=-(7(1)^4+2(1))/(2(1)^2-1)
(7(1)+2(1))/(1-2(1) )=-(7(1)+2(1))/(2(1)-1)
(7+2)/(1-2)=-(7+2)/(2-1)
-9=-9

PROVA nº 2
n = -1
(7n^5+2n^2)/(n-2n^3 )=-(7n^4+2n)/(2n^2-1)
(7(-1)^5+2(-1)^2)/((-1)-2(-1)^3 )=-(7(-1)^4+2(-1))/(2(-1)^2-1)
(7(-1)+2(1))/(-1-2(-1) )=-(7(1)+2(-1))/(2(1)-1)
(-7+2)/(-1+2)=-(7-2)/(2-1)
-5=-5

Não vislumbro qualquer resposta a não ser menos infinito. Toda a imagem da função racional está assentada no mundo dos infinitos negativos, pois até mesmo a quociente dos polinômios já indicam, sem dúvidas, que o numerador e o denominador possuem sinais contrários, e isso, por si só, já é motivo suficiente para aceitar que o infinito seja negativo, e não positivo. Qualquer resposta diferente disso, é um erro, pois faz diferença, e muita, se o resultado for menos ou mais infinito. Não há nem necessidade de se explicar aqui a sua importância.

Amigo, a minha briga é o fato de haver alguns matemáticos que asseveram que o sinal de menos, num caso como este, é desprezível, pelo fato de ser série infinita. Se é desprezível, vamos então verificar gráficos e etc, para constatar em que campo foi se assentar os valores desta equação. Respondo: Todos no mundo dos infinitos negativos. Gostaria que provassem o contrário. Insira qualquer número positivo ou negativo na equação e verifique onde estará as imagens. É essa a briga.

Segue a soma dois dois infinitos (todos os valores possíveis).

Querido amigo, suas observações e seus cálculos foram imprescindíveis para eu chegar a conclusão final. Sem elas eu estaria em maus lenções. Obrigado por ter me ajudado. Segue, enfim, as propriedades que me proíbem de omitir o sinal de menos no infinito. Encontrei ainda, na revista Cálculo, outra regra que também reforça o teorema abaixo. Logo vou digitá-la aqui. De qualquer forma, parabéns, sua intervenção foi crucial para mim.

AQUI DESCREVE BEM A QUESTÃO DO VALOR FICAR OSCILANDO DE -1 PARA +1

"Seqüência monótonas: Há pouco vimos que toda seqüência convergente é limitada. Mas nem toda seqüência limitada é convergente, como podemos ver através de exemplos simples como os seguintes:
a) a_n=〖(-1)〗^n assume alternadamente os valores +1 e -1, portanto não converge para nenhum desses valores;
b) a_n=(-1)^n (1+1/n) é um exemplo parecido com o anterior, mas agora a seqüência assume uma infinidade de valores, formando um conjunto de pontos que se acumulam em torno de -1 e +1. Mas a seqüência não converge para nenhum desse valores. Se ela fosse simplesmente 1 + 1/n, então convergiria para o número 1.
Veremos, entretanto, que há uma classe importante de seqüências limitadas - as chamadas seqüências "monótonas" - que são convergentes.

TEOREMA: Toda seqüência monótona e limitada é convergente.

AQUI NÃO AUTORIZA ELIMINAR O NEGATIVO DO INFINITO

DEFINIÇÕES: Diz-se que a seqüência 〖(a〗_n) diverge (ou tende) para +∞ e escreve-se 〖〖lim〗┬(a_n )=〗⁡〖+∞〗 ou 〖〖lim〗┬(a_n )=〗⁡∞ se, dado qualquer número positivo k, existe N tal que n>N⇒a_n>k. Analogamente, 〖(a〗_n) diverge (ou tende) para -∞ se, dado qualquer número negativo k, existe N tal que n>N⇒a_n<k; neste caso, escreve-se 〖〖lim〗┬(a_n )=〗⁡〖-∞〗.
Por exemplo, é fácil verificar, à luz dessas definições, que as seqüências a_n=n,a_n=n^2+1 e a_n=√n tendem, todas elas, a +∞, enquanto que a_n=-n,a_n=3-n^2 e a_n=6-√n tendem a +∞". (Análise Matemática - Geraldo Ávila).

Abraço

CORREÇÃO: "... a_n=n,a_n=n^2+1 e a_n=√n tendem, todas elas, a +∞, enquanto que a_n=-n,a_n=3-n^2 e a_n=6-√n tendem a -∞". (Análise Matemática - Geraldo Ávila)".