Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Boa Tarde,

Não consigo resolver o seguinte exercicio. Gostaria, se possível, uma ajuda na sua resolução:

Observa a figura, onde está representado, no plano complexo, um triângulo isósceles inscrito numa circunferência. Sabe-se que \(sen \theta = \frac{3}{5}\) e \(\overline{AB}\). Exprime, na forma algébrica, os complexos cujos afixos são \(A\), \(B\) e \(C\).



Obrigada

Boa noite,

Números complexos, hein? Bom vamos lá:

O triângulo \(ABO\)é retângulo e isósceles, então por Pitágoras encontramos que o raio vale \(R = 2 \sqrt{3}\).

Pela relação trigonométrica fundamental \(sen^2 \theta + cos^2 \theta = 1\) obtemos que \(cos \theta = \frac{4}{5}\).

Não é difícil verificar que \(x = R cos \theta\) e \(y = R sen \theta\)

Então temos que \(A = \left( \frac{8 \sqrt{3}}{5}, \frac{6 \sqrt{3}}{5} \right)\) ou na forma algébrica \(A = \frac{8 \sqrt{3}}{5} + \frac{6 \sqrt{3}}{5} \cdot i\).

Agora é que os números complexos simplificam a nossa vida, veja que o ponto B representa um giro de 90 graus em A, e que C representa um giro de 90 graus em B.

Então \(B = A \times (0, 1)\) ( aqui vamos usar \(\times\) significando a multiplicação de números complexos e (0,1) é o número complexo i que usamos para girar um ponto 90 graus ), então

\(B = \left( \frac{8 \sqrt{3}}{5}, \frac{6 \sqrt{3}}{5} \right) \times (0, 1)\). Fazendo essa multiplicação detalhadamente, para relembrar:

\(B = \left( \frac{8 \sqrt{3}}{5} \cdot 0 - \frac{6 \sqrt{3}}{5} \cdot 1, \frac{8 \sqrt{3}}{5} \cdot 1 + \frac{6 \sqrt{3}}{5} \cdot 0\right)\) então \(B = \left( - \frac{6 \sqrt{3}}{5} , \frac{8 \sqrt{3}}{5} \right)\) ou na forma algébrica \(B = - \frac{6 \sqrt{3}}{5} + \frac{8 \sqrt{3}}{5} \cdot i\).

Para achar C, basta fazer de forma análoga o que fizemos para B, isto é: \(C = B \times (0, 1)\).

Obs: Uma forma alternativa de você encontrar C é verificar que ele ó simétrico de A em relação à origem, dessa forma nem será necessário fazer contas.

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Fraol
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Muito obrigada pela sua ajuda