Fórum de Matemática
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Provar que \(arctan (x)< x - \frac{x^3}{6}\), \(\forall x \in (0,1]\), usando o teorema do valor médio.
Temos que \(f(0)= 0\)
\(f'(x)= \frac{1}{1+x^2}+ \frac{x^2}{2}-1\), com \(f'(0)= 0\)
\(f''(x)= \frac{-2x}{(1+x^2)^2}+x\), com \(f''(0)=0\).
\(f'''(x)=\frac{-2(1+x^2)+8x^2}{(1+x^2)^3}+1\)
O problema é que \(f'''(x)\) não é maior do que zero em todo o intervalo \((0,1]\), nem tampouco menor do que zero em todo o intervalo, o que me impede de aplicar o teorema. Ou terei eu cometido algum erro?

Pegando na sua função \(f(x)=\arctan(x)-x+\frac{x^3}{6}\) e observando que \(f(0)=0\) temos que \(f(x)=\int_0^x f'(t)dt=xf'(\xi)\) com \(\xi\in(0,x)\) pelo teorema do valor intermédio. Agora só tem que ver que \(f'(\xi)<0\) para qualquer \(\xi \in (0,1)\).

Boa noite, Rui.
Eu estava pensando em utilizar o Teorema do Valor Médio para derivadas que diz que se \(f\) é contínua em \([a,b]\), e derivável em \((a,b)\), então \(\exists c \in (a,b))\) tal que \([f(b)-f(a)]=f'(c)(b-a)\). Então, no exemplo, se eu chego à conclusão de que se \(f'''(x)<0, \forall x\in(0,1]\), então posso aplicar \([f''(x)-f''(0)]=f'''(c)(x-0)\) e concluir que \(f''(x)<0\). Aplicando novamente o teorema, \([f'(x)- f'(0)]=f''(c)(x-0)\rightarrow f'(x)<0\). E por fim \([f(x)-f(0)]=f'(c)(x-0)\), de onde eu concluiria que \(f(x)<0\) e provaria a desigualdade.

Não percebo porque tem que ir até à terceira derivada. Note que \(f'(c)=\frac{1}{+1+c^2}-1+\frac{c^2}{2}=\frac{c^4-c^2}{2(1+c^2)}<0 , \forall c\in (0,1)\), logo \(f(x)=f(x)-f(0)=f'(c)(x-0)<0\) para \(x\in(0,1]\).