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DÚVIDAS? Nós respondemos!

Bom dia,

Tenho uma função f sobrejectiva e uma função g tal que a função gºf é injectiva, o que podemos dizer da função g?

Estou na dúvida com a resposta que as várias hipóteses que me apresentam, porque se duas funções f: A -> B e g: B -> C são ambas injectivas, então a função composta g°f também é injectiva.
Assim como o contrário, se forem ambas sobrejectivas, então a composta também o é.

Mas o que mais me confunde é o teorema que diz, se a composta é injectiva então f é injectiva, e é aqui que tenho dúvidas, porque na pergunta diz que f é sobrejectiva.

Eu penso que a resposta será ou a b ou c, mas precisava de uma ajuda.

a. a função g é sobrejectiva, mas não tem que ser injectiva.
b. a função g é injectiva, mas não tem que sobrejectiva.
c. a função g é bijecção.
d. o problema, como colocado, não é conclusivo.

Desde já agradeço pela ajuda.
Silva

A resposta correta é a (b. a função g é injectiva, mas não tem que [ser] sobrejectiva.). Nota que gºf é injectiva se e só se f é injectiva e g é injectiva quando restrita à imagem de f. Como f é sobrejectiva então g é injectiva em todo o seu domínio.