Fórum de Matemática
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\(f(a)=a^{3}-7a^{2}+7a+15\)

Analisei o exercício e pensei em decompor o número 15, de modo que

\(f(a)=a^{3}-7a^{2}+7a+2.7+1\)

Então, vi uma soma de cubos

\(f(a)=(a+1)(a^{2}-a+1)-7(a^{2}-a-2)\)

Não consigo prosseguir. Será que há como avançar ou optei pelo caminho errado?

Obrigado.

foi pelo caminho errado.

Repare que \(-1\) é raiz do polinómio, logo basta usar a regra de Rufini

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João Pimentel Ferreira
 
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Oi João P. Ferreira,

Infelizmente não aprendi isso na escola ainda. Como você descobrui a raiz? O que é a regra de Rufini?

Obrigado.

Vc está perante um polinómio de grau 3 pois o maior termo é \(a^3\)

Se \(f(a)=a^{3}-7a^{2}+7a+15\)

repare que \(f(-1)=0\) pois se substituir a por \(-1\) o resultado dá zero.

Ou seja

\(f(-1)=(-1)^{3}-7(-1)^{2}+7(-1)+15=-1-7-7+15={0}\)

Se aplicar a regra de Rufini sabendo que \(-1\) é uma raiz, acha um polinómio restante de grau 2.

Ou seja vc vai querer dividir \(f(x)=x^{3}-7x^{2}+7x+15\) por \(d(x)=x+1\) usando a regra de Rufini

O resultado dessa divisão será um polinómio de grau 2, depois acha os zeros desse polinómio pela fórmula resolvente das equações do segundo grau

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João Pimentel Ferreira
 
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Oi João P. Ferreira,

Muito obrigado pelas explicações. Interessei-me pela regra de Ruffini e vou estudá-la bastante!

Contudo, ainda restou-me uma dúvida. Como descobrir a raiz(ou raízes) de uma equação de 3º grau? Isto é, devo testar números ou há alguma fórmula?

Obrigado.

Olá

Existe um método algo complexo, o método de Cardano-Tartaglia
http://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_c%C3%BAbica

Todavia, não é isso que normalmente se pede. Normalmente neste tipo de exercícios, há sempre uma raiz que é fácil achar, por exemplo -2,-1,0,1 ou 2. É uma questão de tentativa-erro

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Oi João P. Ferreira,

Entendi todos seus ensinamentos.

Muito obrigado pela atenção!

sempre às ordens meu caro, estamos aqui para ajudar

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Oi João P. Ferreira,

Estive estudando o exercício e me vieram algumas dúvidas.

Fiz uma resolução através de um método diferente.

\(f(a)=a^{3}-7a^{2}+7a+15\)

\(f(a)=a^{3}-3a^{2}-4a^{2}+12a-5a+15\)

\(f(a)=a^{2}.(a-3)-4a.(a-3)-5.(a-3)\)

\(f(a)=(a-3).(a^{2}-4a-5)\)

\(f(a)=(a-3).(a^{2}-5a+a+(-5).(1))\)

\(f(a)=(a-3).[a.(a-5)+1.(a-5)]\)

\(f(a)=(a-3).(a-5).(a+1)\)

Está correto o meu modo de resolução?

Tenho uma dúvida sobre a regra de Briot-Ruffini: apenas é válida para expressões de grau terciário? Qual expressão é correta? Em qual ocasião?

\(D(x)=x-\alpha\)

ou

\(D(x)=x+\alpha\)

Porque o valor 1? E a raiz da equação, qual a participação dela na regra de Briot-Ruffini?

Como é algo novo para mim, estou repleto de dúvidas.

Obrigado.

Caro

O seu método está certíssimo

Vá ao wolfram alpha
e coloque
solve x^3-7x^2+7x+15=0

O método que referi o que faz é, com um polinómio \(p(x)\) de grau \(n\), e sabendo uma raiz, ele acha um polinómio \(p'(x)\) de grau \(n-1\) em que as raízes de \(p'(x)\) são as raízes de \(p(x)\) para qualquer \(n\) inteiro positivo maior que 1

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