Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Questão nº 1 da prova da EsPCEx de 2012:

Resposta: -2

Como chegou a isso?

Rafael,
completemos quadrado...

\(\\ x^2 + y^2 - 4x = 0 \\ (x^2 - 4x) + y^2 = 0 \\ (x^2 - 4x + 4) - 4 + y^2 = 0 \\ \fbox{(x - 2)^2 + y^2 = 4}\)

Devemos encontrar a equação da reta \(t\).

Determinamos a equação da reta que passa pelo ponto \(P\) aplicando a seguinte fórmula: \(y - y_o = m(x - x_o)\).

\(\\ y - y_o = m(x - x_o) \\ y - \sqrt{3} = m(x - 1) \\ y = \sqrt{3} + mx - m\)


Sabemos que o produto dos coeficientes angulares de retas perpendiculares vale \(- 1\), então:


\(m_{PC} \cdot m_{reta} = - 1\)

Encontramos \(m_{PC}\) fazendo...

\(\\ m_{PC} = \frac{0 - \sqrt{3}}{2 - 1} \Rightarrow \fbox{m_{PC} = - \sqrt{3}}\)


Agora,

\(\\ m_{PC} \cdot m_{reta} = - 1 \\ - \sqrt{3} \cdot m_{reta} = - 1 \\ m_{reta} = \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \fbox{m_{reta} = \frac{\sqrt{3}}{3}}\)

Logo, a equação da reta \(t\) é:

\(\\ y = \sqrt{3} + mx - m \\ y = \sqrt{3} + \frac{x\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \\ \fbox{y = \frac{x\sqrt{3}}{3} + \frac{2\sqrt{3}}{3}}\)


O eixo horizontal é obtido fazendo \(y = 0\), ou seja, \(y\) é fixo e vale ZERO!

Então, resta-nos substituir \(y\) por zero na equação da reta \(t\).

Permitirei que termine!!

Espero ter ajudado!

Att,

Daniel F.

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Daniel Ferreira
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Olá Daniel

Puts, valeu muito mesmo por ajudar. Acho meio que muito errado esse tipo de questão ser aplicada em uma prova que o requerido é o nível médio de ensino. Não vi isso na escola pública que estudei, e alguns amigos meus que estudaram em particulares não tiveram também.

Então, gostaria que você me esclarecesse essa dúvida, se possível:
\(\\ m_{PC} = \frac{0 - \sqrt{3}}{2 - 1} \Rightarrow \fbox{m_{PC} = - \sqrt{3}}\)
sei que
\(m_{ } = \tan \alpha = \frac {y_{b}-y_{a}}{x_{b}-x_{a}}\)
gostaria que você me explicasse de onde você pegou esse 2 para o \(x_{b}\), uma vez que é o valor que estamos buscando.

continuando a conta, eu achei:
\(\frac {x \sqrt{3}}{3}+ \frac {2 \sqrt{3}}{3} = 0\)
\(x \sqrt{3}+ 2 \sqrt{3} = 0\)
\(\sqrt{3}\left ( x+2 \right ) = 0\)
\(x+2 = \frac {0}{\sqrt{3}}\)
\(x+2 = 0\)
\(x = -2\)

Realmente muito obrigado!

Rafael, é o centro da circunferência \((x - 2)^2 + y^2 = 4\)

\((x - 2)^2 + (y - 0)^2 = 4 \rightarrow \fbox{C = (2, 0)}\)

Não há de quê! E, também continue ajudando quando souber.

Att,

Daniel F.

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Daniel Ferreira
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