Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Olá a todos.

Dada a integral:

\(\int\frac{4+x}{5+2x+x^2}\,dx\)

Qual o método a utilizar para a resolução da mesma ? Por partes ou por substituição ?
Como se avalia qual o método a aplicar ?
Desejava ajuda.

Grato pela atenção
amadeu

A melhor solução nesse caso é a substituição...
\(\LARGE \int \frac{x+4}{x^2+2x+5}dx\) ...Nessa integral observe o seguinte:
Se eu 'forçar' que o diferencial do denominador 'apareça' no numerador(pelo menos em parte), surge uma integral conhecida... observe:\(\LARGE u = x^2+2x+5\Rightarrow du=(2x+2)dx\)
\(\LARGE \int\frac{\frac{1}{2}(2x+2)+3}{x^2+2x+5}dx=\frac{1}{2}\int\frac{2x+2}{x^2+2x+5}dx+\int\frac{3}{x^2+2x+5}dx=\frac{1}{2}ln\left | x^2+2x+5 \right |+3\int\frac{dx}{(x+1)^2+2^2}=
\frac{1}{2}ln\left | x^2+2x+5 \right |+\frac{3}{2}arctg\left ( \frac{x+1}{2} \right )+C\)

Resolvendo esse 'tipo de integral' dessa forma é meio 'previsível' o resultado... Lembre que:
\(\large \int \frac{du}{u}=lnu+C\)
\(\large \int \frac{du}{u^2+a^2}=\frac{1}{a}\cdot arctg\left ( \frac{u}{a} \right )+C\)
\(\large \int \frac{du}{u^2-a^2}=\frac{1}{2a}\cdot ln\left ( \frac{u-a}{u+a} \right )+C\)
é sempre um deles, ou uma combinação entre eles.

Espero ter ajudado.

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"A Matemática é a linguagem com o qual Deus escreveu o universo"
Galileu Galilei

Respondendo às suas perguntas...
O melhor método é aquele que chega ao resultado de forma menos dificultosa ou mais segura.
De maneira geral você só vai 'bater o olho' em uma integral e saber o caminho exato depois de ter resolvido muitas integrais, porque fica meio instintivo-repetitivo.
Recomendo fazer bastantes exercícios. Pega o Demidovitch, ele tem umas listas muito boas para integrais.

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"A Matemática é a linguagem com o qual Deus escreveu o universo"
Galileu Galilei

Obrigado pela atenção.

E já agora. Essa lista do tal Demidovicht, tem as resoluções ? Ou só tem as soluções finais ?

Ele apresenta todas as soluções finais. Em alguns casos ele resolve e faz comentários.

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"A Matemática é a linguagem com o qual Deus escreveu o universo"
Galileu Galilei

Por favor me diga. Esse livro é único ? Ou seja, é um só volume, ou existem vários sobre diversas matérias, tal como cálculo integral e derivadas ?
É possível descarregar ele da net em PDF ?

Obrigado

Olha eu tenho um Dedidovitch bem antigo, e ele é um volume só. Você consegue baixar na net sim. O nome é Análise Matemática.

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"A Matemática é a linguagem com o qual Deus escreveu o universo"
Galileu Galilei

Olá david.

Desculpe eu insistir no assunto da integral. Mas o meu escasso conhecimento, ainda sobre esta matéria, me leva a isso.
Aquela parte de "encaixar" a derivada do denominador no numerador pelo menos em parte, como refere, eu entendi. Visto que
\(\frac{1}{2}\left(2x+2\right)+3\) é uma outra forma de escrevermos o numerador\((x+4)\) utilizando a derivada do denominador.

Após a resolução você escreveu:

Resolvendo esse 'tipo de integral' dessa forma é meio 'previsível' o resultado... Lembre que:

\(\large \int \frac{du}{u}=lnu+C\)
\(\large \int \frac{du}{u^2+a^2}=\frac{1}{a}\cdot arctg\left ( \frac{u}{a} \right )+C\)
\(\large \int \frac{du}{u^2-a^2}=\frac{1}{2a}\cdot ln\left ( \frac{u-a}{u+a} \right )+C\)
é sempre um deles, ou uma combinação entre eles.

Minha dúvida. Das três fórmulas enunciadas acima por si, qual delas, se deve aplicar de facto para o desenvolvimento da integral que postei ? ___ A 1ª, a 2ª , ou a 3ª ? Desculpe a minha ignorância. Mas como já referi, sou leigo na matéria.

Quanto ao livro do Demidovitch, de facto encontrei ele na net, em vários sites. Descarreguei vários mas só têm as 1ªs
páginas com introdução, e o índice. Exercícios, nada !
Ou então,sou eu que após entrar nos sites, não sei procurar direito.
Se voçê souber de algum site que contenha o livro completo, ou em parte, com os exercícios, agradecia que me enviasse o link.

Grato pela atenção

amadeu

Caro Amadeu, permita-me a colaboração.

No site do Ebah eu baixei todas as páginas. Veja se consegue.

Abração
Mauro

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Mauro Trerotola
Frase que mais gosto: "Não sabendo que era impossível, foi lá e fez!"

Oi Mauro.

Será que dá pra você me enviar o link da página do site Ebah de onde sacou o livro completo do Demidovitch ?
Não estou pedindo pra fazer um link direto, pois não sei se isso é permitido pelas regras aqui do Fórum. Só lhe peço que volte lá no site, tome nota do endereço do link, e me o envie como resposta a este meu pedido.
Só consegui encontrar um exemplar, não sei se completo __ análise matemática-demidovitch __ que está fotocopiado, com as imagens das cópias atravessadas em relação ao ecrã do computador, enviado por: Marília Brilhante __ Arquivado no curso de Engenharia do Petróleo na UFC, cujo link é:

http://www.ebah.com.br/content/ABAAAfEtcAA/analise-matematica-demidovitch

Se foi este que você sacou me confirme, se não, agradeço que me envie o link do qual foi, tal como eu digitei esse acima.
Valeu ?!

Abraço