Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

a) y' - sqrt(1-x^2) =0

b) y' - (x^4 +x^2 -1) / (x^2 +1)

São as duas separáveis, isto é, consigo ter uma expressão em função de y de um dos lados e outra em função de x no outro.

Só resolvo a a), porque a outra é similar.

a)
\(y' - \sqrt{1-x^2} =0\)
\(\frac{dy}{dx}=\sqrt{1-x^2}\)
\(1dy=\sqrt{1-x^2}dx\)
\(\int 1dy=\int \sqrt{1-x^2}dx\)

Agora um cálculo auxiliar para \(\int \sqrt{1-x^2}dx\)
Seja sen(z)=x, x'=cos(z) e
\(\int \sqrt{1-x^2}dx=\int \sqrt{1-sen^2(z)}cos(z)dz\)
\(\int cos^2(z)dz=\)
\(\frac{1}{2}\int 1+cos(2z)dz=\)
\(\frac{1}{2}\[z+sen(2z)/2 \]=\)
\(\frac{z}{2}+\frac{sen(2z)}{4} =\)
\(\frac{arcsen(x)}{2}+\frac{sen(2arcsen(x))}{4}\)

Por fim

\(\int 1dy=\int \sqrt{1-x^2}dx\)
\(y=\frac{arcsen(x)}{2}+\frac{sen(2arcsen(x))}{4} +C\)

Podia simplificar a expressão final, mas são detalhes

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José Sousa
_{se gostou da resposta, divulgue o fórumdematemática.org}

O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso.

óóóó---óóóóóó óóó---óóóóóóó óóóóóóóó
(O vento lá fora.)

Álvaro de Campos, 15-1-1928

Uma dúvida, no cálculo auxiliar a escolha da função sen(z)= x é propositada para simplificar os cálculos, mas noutros casos terei que escolher outras funções mais convenientes ou estou errada?

Está certa. Depende do caso

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José Sousa
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O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso.

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(O vento lá fora.)

Álvaro de Campos, 15-1-1928