Fórum de Matemática
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Amigos, uma curiosidade.

Há milênios que os curiosos, a começar pelos maiores deles, os gregos, vêm brincando com o número \(\pi\).

Também quis brincar, mas acabei frustrado por causa de um comentário crítico que recebi.

Me disseram: "Você quer provar que achou uma fórmula simples para achar o número \(\pi\) usando o próprio \(\pi\) como fonte. Isto é uma covardia".

As palavras não eram estas, mas foi este o teor.

Como não entendi, gostaria de ser criticado formalmente, para que eu possa aprender.

A partir da ideia de, num círculo trigonométrico, inserir polígonos regulares e ir verificando o que acontece com um dos lados deles, à medida que vão sendo substituídos pelo aumento de faces (F), cheguei à conclusão que

\(\pi = \lim_{F \to \infty}{F \times \text{seno} (\frac{180}{F})}\)

\(F \in \{\mathbb{N} > 2\}\) e \(\frac{180}{F}\) um ângulo em graus.

Quando 'F' chega perto de 60 já se delineiam 3,14..., mas, evidentemente a tendência é o infinito para as faces e, consequentemente, para a 'resolução final' de \(\pi\).

Possivelmente \((\frac{180}{F})\) pudesse ser substituído por \((\frac{\pi}{F})\) para dar razão à crítica e aí vejo que realmente seria uma estupidez.

Mas, para chegar à fórmula, me baseei somente em geometria 'visual', por assim dizer. Não usei o valor consagrado do número \(\pi\) para chegar àquela expressão, mas somente valores de extensão, tais como 'raio' vezes 'seno' e soma de perímetros.

Se os amigos puderem me mostrar onde o visual me trai, eu apreciaria.

Abração,
Mauro

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Mauro Trerotola
Frase que mais gosto: "Não sabendo que era impossível, foi lá e fez!"

Pois, usando essa fórmula estás automaticamente a recorrer ao valor de Pi. Francamente, qualquer função trigonométrica recorre ao valor de Pi.
Além disso, observa que, deduziste bem, (perdoa-me a redundância, se foi daqui que partiste)

\(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{Sen(x)}{x}=1\Leftrightarrow \lim_{F\rightarrow +\infty }\frac{Sen(\frac{\pi}{F})}{\frac{\pi }{F}}=1\Leftrightarrow \lim_{F\rightarrow +\infty }Sen(\frac{\pi}{F})=\lim_{F\rightarrow +\infty} \frac{\pi }{F}\Leftrightarrow \pi =\lim_{F\rightarrow +\infty }F Sen\left ( \frac{\pi }{F} \right )\)

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http://www.matematicaviva.pt/
F. Martins

Caro Mauro

O que está tentando fazer (parece-me) é a aproximação poligonal usada pelos antigos
http://en.wikipedia.org/wiki/Pi#Polygon ... mation_era

Existem várias séries que aproximam o \(\pi\)
http://en.wikipedia.org/wiki/Pi#Infinite_series

Um delas, a mais comum é

\(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}\)

Abração

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João Pimentel Ferreira
 
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Caro FernandoMartins,
aqui está o pulo do gato. 'Mataste' a dúvida aqui.

Se possível, poderia estender-se um pouco mais sobre esta afirmação?

Um abração
Mauro

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Mauro Trerotola
Frase que mais gosto: "Não sabendo que era impossível, foi lá e fez!"

Mestre João, é exatamente sobre a aproximação poligonal.
Vi muitas dessas aproximações, mas o que me intrigou mesmo foi o que o FernandoMartins disse.

Abração
Mauro

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Mauro Trerotola
Frase que mais gosto: "Não sabendo que era impossível, foi lá e fez!"

Mauro

É só uma questão de lembrança - o argumento de qualquer função trigonométrica é sempre convertível em radianos;
e qual é a unidade (standard ou u.i.) da medida ângular radianos? é o \(\pi\) radianos.
Por isso qualquer ângulo que ponhas numa função trigonométrica é sempre uma medida em \(\pi\) radianos.
Daí, a fórmula acima para o cálculo de Pi é uma fórmula recorrente.

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F. Martins

João Pimentel, referiste o cálculo de Pi por séries numéricas reais. Pelo que me lembro algumas delas recorrem às séries de Tchebychev (que usam polinómios ortogonais de Tchebychev para aproximação das funções trigonométricas), outras não. Mas existem também alguns métodos estatísticos; um deles é o interessante Agulhas de Buffon, que surpreendeu a comunidade contemporânea do Buffon - tenho este método programado em Mathematica, se alguém quiser. Há também o cálculo numérico de Pi, utilizando vários métodos como Bissecção ou Newton-Raphson.

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F. Martins

Caro amigo Fernando Martins

Usando métodos numéricos compreendo, por exemplo presumo que para o método de Newton, se faça uso de uma função cuja raiz seja Pi. Agora como é que exatamente se usam métodos estatísticos para achar o Pi? Sou um leigo na matéria, não é a constante Pi uma valor determinístico?

Abraço

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João Pimentel Ferreira
 
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João

Não te esqueças que probabilidades são áreas.

O que significa r^2? (é a área de um quadrado de lado r)
O que significa Área do círculo? (é a área que corresponde à aderência do disco de raio r).

Se centrarmos o circulo unitário na origem O,
se centrarmos um quadrado horizontal de lado=2 também na origem,
se restringires ao 1.º Q, ficas com um quadrado de lado 1 e 1/4 de círculo contidos no 1.º Q.

Se gerares pontos aleatórios, aleatoriamente uniformes dentro do quadrado, quanto é a percentagem esperada de pontos que caem dentro do círculo?

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F. Martins

ok

Se bem percebi há de ser \(\frac{\pi.1^2 }{4}/1=\frac{\pi}{4}\)

I think I got it my friend

Muito obrigado

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João Pimentel Ferreira
 
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