Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Vocês poderiam me ajudar a resolver essa questão?

\(\lim_{x\to 1}\frac{ 3(1-x^2)-2(1-x^3)}{(1-x^3)(1-x^2)}\)

Oi Angélica,
seja bem-vinda!!

Se substituirmos x por 1, o denominador será nulo. Com isso, o que temos de fazer é fatorar o limite.

\(\lim_{x \rightarrow 1}\frac{3(1 - x^2) - 2(1 - x^3)}{(1 - x^3)(1 - x^2)} =\)

\(\lim_{x \rightarrow 1}\frac{3(1 - x)(1 + x) - 2(1 - x)(1 + x + x^2)}{(1 - x)(1 + x + x^2)(1 - x)(1 + x)} =\)

\(\lim_{x \rightarrow 1}\frac{(1 - x)[3(1 + x) - 2(1 + x + x^2)]}{(1 - x)(1 + x + x^2)(1 - x)(1 + x)} =\)

\(\lim_{x \rightarrow 1}\frac{3 + 3x - 2 - 2x - 2x^2}{(1 + x + x^2)(1 - x)(1 + x)} =\)

\(\lim_{x \rightarrow 1}\frac{- 2x^2 + x + 1}{(1 + x + x^2)(1 - x)(1 + x)} =\)

\(\lim_{x \rightarrow 1}\frac{- (2x^2 - x - 1)}{(1 + x + x^2)(1 - x)(1 + x)} =\)

\(\lim_{x \rightarrow 1}\frac{- (2x^2 - 2x + x - 1)}{(1 + x + x^2)(1 - x)(1 + x)} =\)

\(\lim_{x \rightarrow 1}\frac{- [2x(x - 1) + 1(x - 1)]}{(1 + x + x^2)(1 - x)(1 + x)} =\)

\(\lim_{x \rightarrow 1}\frac{- (x - 1)(2x + 1)}{(1 + x + x^2)(1 - x)(1 + x)} =\)

\(\lim_{x \rightarrow 1}\frac{(- x + 1)(2x + 1)}{(1 + x + x^2)(1 - x)(1 + x)} =\)

\(\lim_{x \rightarrow 1}\frac{2x + 1}{(1 + x + x^2)(1 + x)} =\)

Agora, podemos substituir x por 1. Conclua!!

A propósito,

\(\fbox{a^3 - 1 = (a - 1)(a^2 + a + 1)}\)

e,

\(\fbox{a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)}\)

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Daniel Ferreira
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