Olá kaczanoski
Colocaste uma questão que dá algum trabalho e que à primeira vista assusta um pouco, mas vamos lá.
Considere-se a matriz do sistema, de dimensão 3x4, tendo em conta que a última coluna representa a coluna dos termos independentes (t.i.), e aplica-se a eliminação gaussiana para encontrar a matriz triangular superior:
\(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 14\\ 4 & b & 6 & 32\\ 7 & 8 & c & a \end{bmatrix}\underset{-4L1+L2;-7L1+L3}{\rightarrow}\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 14\\ 0 & b-8 & -6 & -24\\ 0 & -6 & c-21 & a-98 \end{bmatrix}\underset{L2(\frac{6}{b-8})+L3;b\neq8}{\rightarrow}\) \(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 14\\ 0 & b-8 & -6 & -24\\ 0 & 0 & \otimes & \oplus \end{bmatrix}\), onde, \(\left\{\begin{matrix} \otimes = \frac{-36}{b-8}+c-21\\ \\ \oplus = \frac{-144}{b-8}+a-98 \end{matrix}\right.\)
Então para que o Sistema seja Possível e Determinado (S.P.D.), é necessário que:
\(b\neq 8 \wedge \otimes \neq 0 \wedge \oplus \neq 0\Leftrightarrow
b\neq 8 \wedge \frac{-36}{b-8}+c-21 \neq 0 \wedge \frac{-144}{b-8}+a-98 \neq 0\Leftrightarrow
b\neq 8 \wedge c\neq 21+\frac{36}{b-8} \wedge a\neq 98+\frac{144}{b-8}\)
Já que existem infinitas soluções a,b,c para que se tenha um S.P.D., basta atribuir valores a estes nas condições atrás determinadas (e.g. b=9, c=0, a=0).
Perdoa o atraso na resposta, espero que tenha ajudado,
Bom estudo
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