Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Ao me deparar com esse exercício fiquei totalmente desamparado. Não consegui ver nenhum modo de realiza-lo.

Sendo,

\(z=\frac{1+i}{\sqrt{2}}\)

Calcule

\(|\sum_{n=1}^{60} z^n|=|z+z^2+z^3+...+z^6^0|\)

A única propriedade que eu sei que TALVEZ pode ser útil é:

\(|z+z^2+z^3+...+z^6^0|=|z|+|z^2|+|z^3|+...+|z^6^0|\)

O que fazer?

Obrigado.

Pensando bem, achei algo interessante. Elevei os dois lados ao quadrado

\(z^2=\frac{(1+i)^2}{(\sqrt{2})^2}\)

\(z^2=\frac{2i}{2}\)

\(z^2=i\)

\(z=\sqrt{i}\)

ou

\(z=-\sqrt{i}\)

E agora?

Também creio que essa propriedade poderá ser útil

\((\sqrt[n]{x})^y=\sqrt[n]{x^y}\)

Boa noite,

Uma forma de encarar esse problema é usar o fato de que \(z + z^2 + z^2 + ... + z^60\) é a soma de uma PG, certo?

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Fraol
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Suspeito que a solução passe por escrever a sucessão dos números complexos na sua fórmula trigonométrica.
Depois de analisar a sucessão é bem possível que se consiga encontrar a expressão do termo geral/calcular a soma dos 60 termos.

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Napoléon Bonaparte: «L'art d'être tantôt très audacieux et tantôt très prudent est l'art de réussir.»

Dou explicações, se não for presencialmente por Skype. Contacte-me.

Esta propriedade é verdadeira?
Pensei no caso de Z = i
e a não ser que me tenha enganado não deu o mesmo resultado :\

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Napoléon Bonaparte: «L'art d'être tantôt très audacieux et tantôt très prudent est l'art de réussir.»

Dou explicações, se não for presencialmente por Skype. Contacte-me.

Olá npl,

O senhor está deveras correto. Equivoquei-me

Confundi a propriedade com a do produto:

\(|z.w|=|z|.|w|\)

Desculpe-me pelo equívoco.

Vou tentar resolver o exercício novamente e depois retorno.

Um abraço!