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No espaco em relacao a um referencial o.n. 0xyz considera os pontos A(1,-2,4) e B(-3,2,5) e a reta r definida por\(\left\{\begin{matrix} X=1+3k\\ Y=-2k\\ z=2+k \end{matrix}\right.\). k\(\epsilon \mathbb{R}\)

Determina as coordenadas dos pontos de intersecao da reta r com os planos ordenados.

Podem ajudar-me? obrigado

1. determinando a equação da reta a partir dos pontos dados A(1,-2,4) e B(-3,2,5):

\(\begin{vmatrix} x & y & z\\ 1 & -2 & 4\\ -3 & 2 & 5 \end{vmatrix}\)=0

\(-18x-17y-4z=0\)

2. substituindo os valores das coordenadas x,y,z na equação da reta acima:

\(-18.(1+3k) - 17.(-2k) - 4.(2+k) = 0
k=-\frac{13}{12}\)

3. achando as coordenadas dos pontos de interseção:

\(x=1+3k
x=-\frac{9}{4}\)
\(y=-2k
y=\frac{13}{6}\)
\(z=2+k
z=\frac{11}{12}\)

logo,
as coordenadas são \((x,y,z)=(-\frac{9}{4},\frac{13}{6},\frac{11}{12})\)

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Vivemos em um mundo onde toda informação é falsa até que se prove o contrário.
A Verdade está a caminho.

jorgeluiz, para começar fazendo esse determinante igual a zero devemos ter os três pontos sendo colineares no espaço. Correto?

O que nos garante essa afirmação neste problema em questão.

Obrigado

Estudioso,
assim como jorgeluis é diferente jorgeluiz, reta é diferente de segmento de reta.

reta: formada por infinitos pontos alinhados (colineares).
segmento de reta: nada mais é do que uma parte de uma reta que possui um ponto inicial e um ponto final, chamados de “extremos”.

a questão nos dá um referencial 0xyz do plano, onde a reta o intercepta, a questão busca encontrar exatamente o ponto dessa reta (x,y,z) onde ocorre esse encontro.

podemos dizer de acordo com os dados da questão que a reta possui 2 pontos colineares conhecidos A e B, mas, existe um ponto C(x,y,z), também colinear, dessa reta que intercepta o plano.

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Ola, eu ainda nao dei matrizes, sera que e possivel resolver de outra maneira. Obrigado.

Carmem,
eu não conheço outro jeito, uma vez que de outra forma você teria que encontrar o vetor normal do plano (i,j,k) que é obtido da mesma forma que a equação da reta, ou seja, determinante da matriz 3x3.

Por outro lado, posso te afirmar que você aprende a determinante de matriz 3x3, em menos de 10 minutos, é super simples usar a regra de sarrus.

veja o anexo:

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O sistema de equações define completamente a recta... Não vejo para que servem os pontos A e B, colocou o enunciado completo?

A intersecção com os planos ordenados é obtida directamente do sistema. Por exemplo, para um ponto pertencer ao plano XY, devemos ter a terceira componente igual a zero, isto é, \(2+k = 0\), ou seja \(k = -2\). O ponto de intersecção é então \((-5, 4, 0)\).

Para os outros planos coordenados pode proceder do mesmo modo. No plano XZ temos y=0, pelo que \(-2k = 0 \Leftrightarrow k=0\), e o ponto será \((1 , 0, 2)\). Já para o plano YZ temos x = 0, pelo que \(1+3k = 0 \Leftrightarrow k 0 -\frac 13\) e o ponto de intersecção é (0, 2/3, 5/3).

Neste caso a recta definida pelo sistema de equações (forma paramétrica) cruza os três planos coordenados. Novamente, os pontos A,B são desnecessários, já que no enunciado não se faz nenhuma referência à recta por eles definida, mas sim à recta definida pelo sistema de equações... É um enunciado equivalente a: "O Alberto tem dois cães. Calcule 1+1."